Números Racionales

- diciembre 03, 2020

Números Racionales

Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural positivo;[1] es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre {Z}.

Relaciones de equivalencia y orden

Inmersión de enteros:

Cualquier entero n se puede expresar como el número racional n/1 debido a eso se escribe frecuentemente ZCQ (técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros).

Equivalencia
Si se cumple:

Orden

Cuando ambos denominadores son positivos:

Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:

Operaciones Racionales:

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se las llama operaciones racionales.

Suma:
Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma.

para poder sumar números fraccionarios tiene que hacer los siguientes pasos:

con igual denominador 1.se suman los numeradores y los denominadores se dejan:

con diferente denominador 1.se saca el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego se multiplican incluyendo el numerador.

Resta:

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.

Multiplicación:

La multiplicación o producto de dos números racionales:

División:

Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al producto

Inversos:

Los inversos aditivo y multiplicativo existen en los números racionales:

Número racional en base decimal

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipo:

Exacta: La parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Por ejemplo:

Periódica Pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

Periódica Mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Número racional en otras bases.

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción.

Propiedades.

Algebraicas:

El conjunto de los números racionales {Q} equipado con las operaciones de suma y producto cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, es decir:

Conjuntistas.

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre N y Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los números reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).