Números primos
NUMEROS PRIMOS
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1.[1][2] Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse.
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas,[4] de los números enteros.
El número 1 no se considera primo.
La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturas tienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo xix, los matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el año 1956[14] empezaba con el 1 como primer número primo.[15].
Propiedades de los números primos.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.
Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.
La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,
Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene.
Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización.
Características del conjunto de los números primos.
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos[24] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q = p1 x p2 x p3 ... X pn + 1 . Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q -p1 x p2 x p3 ... X pn =1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original.
Diferencia entre dos primos consecutivos.
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del «triplete» formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).
Por ejemplo, si se requiere construir un intervalo de cinco números consecutivos donde ninguno sea un número primo, se hace n=5. Estos valores corresponden a:
La criba de Eratóstenes es una manera sencilla de hallar todos los números primos menores o iguales que un número dado. Se basa en confeccionar una lista de todos los números naturales desde el 2 hasta ese número y tachar repetidamente los múltiplos de los números primos ya descubiertos. La criba de Atkin, más moderna, tiene una mayor complejidad, pero si se optimiza apropiadamente también es más rápida. También existe una reciente criba de Sundaram que genera únicamente números compuestos, siendo los primos los números faltantes.
Fórmulas que solo generasen números primos.
Clases de números primos.
De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no solo generen números primos, son más rápidas de implementar, sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un nombre colectivo.
Primos primoriales y primos factoriales
Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:
Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son los números de la forma F_{n}=2^{2^{n}}+1}F_n=2^{2^n} + 1, con n natural. Los únicos números primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[41].
Números primos de Mersenne.
Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[42] Los mayores números primos conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer, para determinar si un número de Mersenne es primo o no.
Conjeturas.
Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.
Infinitud de ciertos tipos de números primos.
Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay infinitos números primos de Fibonacci[49] e infinitos primos de Mersenne, pero solo un número finito de primos de Fermat.[50] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.
Distribución de los números primos
También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números primos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que son pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2n.
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas,[4] de los números enteros.
El número 1 no se considera primo.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.
Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.
La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,
El mínimo común múltiplo.
De dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.El máximo común divisor.
De dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.
Números primos y funciones aritméticas.
Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene.
Características del conjunto de los números primos.
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos[24] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q = p1 x p2 x p3 ... X pn + 1 . Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q -p1 x p2 x p3 ... X pn =1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original.
Diferencia entre dos primos consecutivos.
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del «triplete» formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).
Por ejemplo, si se requiere construir un intervalo de cinco números consecutivos donde ninguno sea un número primo, se hace n=5. Estos valores corresponden a:
Encontrar números primos.
A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto de exigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma más indulgente, se puede pedir una función f inyectiva que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cada uno de los valores tomados aparezca solo una vez.
Clases de números primos.
Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:
n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[39]
n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[40]
Números primos de Fermat.
n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[40]
Números primos de Fermat.
Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son los números de la forma F_{n}=2^{2^{n}}+1}F_n=2^{2^n} + 1, con n natural. Los únicos números primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[41].
Números primos de Mersenne.
Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[42] Los mayores números primos conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer, para determinar si un número de Mersenne es primo o no.
Conjeturas.
Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.
Hipótesis de Riemann
Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2020), sigue sin resolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea s un número complejo con parte real mayor que 1. Entonces, abiertas acerca d
Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2020), sigue sin resolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea s un número complejo con parte real mayor que 1. Entonces, abiertas acerca d
Otras conjeturas.
Infinitud de ciertos tipos de números primos.
Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay infinitos números primos de Fibonacci[49] e infinitos primos de Mersenne, pero solo un número finito de primos de Fermat.[50] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.
Distribución de los números primos
También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números primos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que son pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2n.
Excelente informacion
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ResponderBorrarExcelente información
ResponderBorrarMuy interesante la información.
ResponderBorrarQue buena explicación, muy interesante
ResponderBorrarMuy buena información.
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