Números irracionales

Números irracionales.

Los números irracionales son números reales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.

En otras palabras, los números irracionales son números reales que no somos capaces de expresarlos en forma de fracción porque desconocemos tanto el numerador como el denominador.

Esquema de los números irracionales.

                     

Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y éstos a números naturales. Los números irracionales quedan al margen y no pueden subdividirse mas.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.

Clasificación de los números irracionales.

Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:

Número algebraico: Se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.

Número trascendente: Este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.

La geometría y los números irracionales.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:


Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional
2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre es irracional.

Números irracionales famosos

Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:

Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.14159265358.

Ejemplos de números irracionales.

En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:

Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:

0,1961325454898161376813268743781937693498749…

0,01001000100001000001000000100000001000000001.